Question

已知a，b∈N₊，抛物线f（x）=ax²+bx+1与x轴有两个不同交点，且两交点到原点的距离均小于1，则a+b的最小值为

 

．

Answer 1

分析：首先根据a，b都是正整数，得出对称轴的符号，以及△的符号，a-b+c的符号，进而得出不等式组，分析得出a的取值即可．

解答：解：由题意可得：∵a，b都是正整数，
∴-

b

2a

＜0，

1

a

＞0，
∵抛物线y=ax²+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B，
且A、B到原点的距离都小于1，则点A，B两点在0和-1之间，于是，a，b同时满足

△=b2-4ac＞0 a-b+1＞0 -1＜- b 2a ＜0

，即

a＜ b2 4 a＞b-1 a＞ b 2

，①
①当

b

2

≥b-1，即b≤2时，有

b2

4

≤1，又a＜

b2

4

与a是正整数矛盾，
故

b

2

＜b-1，即b＞2，若b-1≥

b2

4

，有（b-2）²≤0，则b-1＜

b2

4

，
不等式组①的解为：b-1＜a＜

b2

4

，
若b-1＜a，而a，b都是正整数，取最小的a，令a=b，则a＜

a2

4

，
解得：a＞4，
所以a取最小的数值为5．故a+b的最小值等于10．
故答案为10．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标的性质，以及不等式组的解法等知识，题目综合性较强，注意分析a，b之间的等量关系得出a的取值．