Question

设T_n为数列{a_n}的前n项之积，满足T_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）设，证明数列{b_n}是等差数列，并求b_n和a_n；
（2）设S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²求证：a_n+1-＜S_n≤a_n-．

Answer 1

解：（1）∵T_n=1-a_n（n∈N^*）．，∴，∴
∵，∴b_n-b_n-1=1，∵T_n=1-a_n，∴，∴，∴数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴b_n=n+1，∴，∴
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=
∴
当n≥2时，=
当n=1时，
∴S_n≤a_n-，∴a_n+1-＜S_n≤a_n-．
分析：（1）首先利用数列{a_n}的前n项积T_n与通项之间的关系分类讨论写出相邻项满足的关系式，然后两式作商，再利用，利用作差法即可获得数列{b_n}是等差数列．由此可以求的数列{b_n}的通项公式，进而求得Tn然后求得数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n=T₁²+T₂²+…+T_n²=，再进行放缩可证．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了构造思想、放缩法解决不等式的证问题．