Question

已知椭圆C：的长轴长是短轴长的倍，F₁，F₂是它的左，右焦点．
（1）若P∈C，且，|PF₁|•|PF₂|=4，求F₁、F₂的坐标；
（2）在（1）的条件下，过动点Q作以F₂为圆心、以1为半径的圆的切线QM（M是切点），且使，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意知，由，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²，由此能求出F₁、F₂的坐标．
（2）由，知|QF₁|²=2|QM|²，由QM是⊙F₂的切线，知|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．设Q（x，y），则（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]．由此能求出动点Q的轨迹方程．
解答：解：（1）依题意知①（1分）
∵∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²（3分）
又P∈C，由椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²②（5分）
由①②得a²=6，b²=2⇒c=2．
∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）（7分）
（2）由已知，
即|QF₁|²=2|QM|²（9分）
∵QM是⊙F₂的切线，
∴|QM|²=|QF₂|²-1
∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）（11分）
设Q（x，y），
则（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0）（13分）
综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：（x-6）²+y²=34（14分）
点评：本题考查焦点坐标和轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．