Question

设函数f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及其导数f'（x）；
（Ⅱ）当a≥-1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值为

1

2

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，根据所给的两个对数式，得到真数大于0，解不等式组即可，根据所给的函数写出导函数，注意复合函数的内层函数也要求导．
（II）根据上一问做出的函数的导数通分整理，看出要讨论a与-1的关系，针对于不同的关系根据导函数与0的关系写出函数的单调区间．
（III）对所给的函数求导，根据得到的导函数大于0，得到函数是一个增函数，得到函数在区间（0，1]上是增函数，有函数g（x）在（0，1]上的最大值为g（1），得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由

x＞0 2-x＞0

得0＜x＜2，即函数的定义域为（0，2）；
f′(x)=

1

x

-

a

2-x

．
（Ⅱ）当a≥-1时，f′(x)=

1

x

-

a

2-x

=

2-(a+1)x

x(2-x)

当a=-1时，f′(x)=

2

x(2-x)

，所以在区间（0，2）上，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，2）；
当a＞-1时，令f′(x)=

2-(a+1)x

x(2-x)

=0，解得x=

2

a+1

，
①当

2

a+1

≥2时，即-1＜a≤0时，在区间（0，2）上，f'（x）＞0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，2）；
②当0＜

2

a+1

＜2时，即a＞0时，在区间(0，

2

a+1

)上，f'（x）＞0，
在区间(

2

a+1

，2)上，f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是(0，

2

a+1

)，单调递减区间是(

2

a+1

，2)．
（Ⅲ）当x∈（0，1]且m＞0时，g′(x)=

1

x

-

1

2-x

+m=

2(1-x)

x(2-x)

+m＞0，
即函数在区间（0，1]上是增函数，故函数g（x）在（0，1]上的最大值为g（1），
所以g(1)=m=

1

2

，即m=

1

2

．

点评：本题考查利用函数的导数求解有关函数的最值和单调性的问题，本题解题的关键是针对于导函数的讨论，在a值不同的情况下，所得到结论不同，注意a的取值．