题目内容
6.函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(-∞,-1).分析 令g(x)=lnx,h(x)=x+a,将零点问题转化为交点问题,分别画出图象,先求出直线y=x+a,与曲线y=lnx相切时a的值,即而到到图象有两个交点时a的范围.
解答 解:函数f(x)=lnx-x-a有两个不同的零点,
∴f(x)=lnx-x-a=0有两个不同的根,
∴lnx=x+a,
令g(x)=lnx,h(x)=x+a,
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,
当直线y=x+a,与曲线y=lnx相切时,设切点为(x0,x0+a),
∴k=1=g′(x0)=$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴x0=1,
∴g(x0)=0=1+a,
∴a=-1,
故当a<-1函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点,
实数a的取值范围为(-∞,-1).
故答案为:(-∞,-1).
点评 本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,关键是求出直线和曲线相切时参数的值,考查数形结合思想,属于中档题.
练习册系列答案
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