题目内容

设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点为P，若PF1=2PF2，则双曲线的两条渐近线方程为
 
．
分析：首先利用双曲线的定义以及PF1=2PF2，求出PF2=a，根据已知条件可以得出△PF1F2为直角三角形，进而得出三角形的三边关系，得出b=2a，即可求出渐近线方程．
解答：解：根据双曲线第一定义 PF1=2PF2 PF1-PF2=2a
∴PF2=a
∵点P在圆上，以F1F2为直径，故△PF1F2为直角三角形
∴F1F2 PF1 PF2 的比例关系为
5
：2：1
∴PF2=2a F1F2=2
5
a=2c
∴b=2a 所以渐近线方程为y=±2x
故答案为：y=±2x．
点评：本题考查了双曲线的性质以及定义，解题过程要灵活运用双曲线的定义，根据条件得出△PF1F2为直角三角形是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

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