题目内容
已知四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC与BD交于点O，又PA=3，AD=2，AB=2| 3 |
（Ⅰ） 求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角O-PB-A的余弦值．
分析：（Ⅰ）先证明AO⊥BO，利用PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BO，利用线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）证明DA⊥面PAB，作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角，利用三角函数可求．
（Ⅱ）证明DA⊥面PAB，作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角，利用三角函数可求．
解答：
（Ⅰ）证明：由AD=2，AB=2
，BC=6得BD=4，AC=
∵
=
=
，∴AO=
，BO=3
在△ABO中，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥BO，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BO
∵PA∩AO=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：由PA⊥底面ABCD，可得面PAB⊥底面ABCD，
由AB⊥AD，可得DA⊥面PAB
作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角．
在△AHD中，AH=
，AD=2，HD=
，∴cos∠AHD=
=
．
所以二面角O-PB-A的余弦值是
．
（Ⅰ）证明：由AD=2，AB=2| 3 |
| 3 |
∵
| AO |
| OC |
| OD |
| BO |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
在△ABO中，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥BO，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BO
∵PA∩AO=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：由PA⊥底面ABCD，可得面PAB⊥底面ABCD，
由AB⊥AD，可得DA⊥面PAB
作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角O-PB-A的平面角．
在△AHD中，AH=
| 6 | ||
|
| 8 | ||
|
| AH |
| HD |
| 3 |
| 4 |
所以二面角O-PB-A的余弦值是
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
练习册系列答案
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