题目内容
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acosB+bcosA=$\sqrt{2}$ccosC.(1)求角C的大小;
(2)求$\sqrt{3}sinA-cos(B+\frac{π}{4})$的最大值,并求取得最大值时角A、B的大小.
分析 (1)根据正弦定理和两角和的正弦公式化简已知的式子,再由内角的范围和cosC和C的值;
(2)由(1)和内角和定理求出$B=\frac{3π}{4}-A$,代入$\sqrt{3}sinA-cos(B+\frac{π}{4})$利用诱导公式、两角和的正弦公式化简,根据角A的范围、正弦函数的性质求出最大值,并求出此时的角A、B的大小.
解答 解:(1)由题意得,$acosB+bcosA=\sqrt{2}ccosC$,
由正弦定理得,$sinAcosB+sinBcosA=\sqrt{2}sinCcosC$,
∴sin(A+B)=$\sqrt{2}sinCcosC$,
∵0<C<π,∴sin(A+B)=sinC≠0,则$cosC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∵0<C<π,∴$C=\frac{π}{4}$…(4分)
(2)由(1)知$B=\frac{3π}{4}-A$,
∴$\sqrt{3}sinA-cos(B+\frac{π}{4})=\sqrt{3}sinA-cos(π-A)=\sqrt{3}sinA+cosA=2sin(A+\frac{π}{6})$,…(8分)
∵$0<A<\frac{3π}{4}$,∴$\frac{π}{6}<A+\frac{π}{6}<\frac{11π}{12}$,
∴当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,即$A=\frac{π}{3}$时,$2sin(A+\frac{π}{6})$取最大值2.…(10分)
综上所述,$\sqrt{3}sinA-cos(B+\frac{π}{4})$的最大值为2,此时$A=\frac{π}{3},B=\frac{5π}{12}$.…(12分)
点评 本题考查正弦定理,两角和的正弦公式,以及正弦函数的性质,注意三角形内角的范围,属于中档题.
A. | sin156°<0 | B. | $tan(-\frac{11}{6}π)>0$ | C. | sin1480°<0 | D. | cos(-250°)>0 |
A. | $(-∞,-\frac{1}{2})$ | B. | $(-5,-\frac{1}{2})$ | C. | $(-\frac{1}{2},5)$ | D. | $(-\frac{1}{2},+∞)$ |
A. | -$\frac{1}{6}$ | B. | $-\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |