Question

设动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为

3

，点M的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A，B两点，且

AF

=λ

FB

．当2≤λ≤3时，求直线l斜率k的取值范围•

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为

3

，建立方程，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及向量知识，可求直线l斜率k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，∵动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点F（0，1）的距离之比为

3

，
∴|y-3|=

3

•

x2+(y-1)2

．
化简，得曲线E的方程为3x²+2y²=6．…（4分）
（Ⅱ）直线l方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（2k²+3）x²+4kx-4=0．…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4k

2k2+3

，①x₁x₂=-

4

2k2+3

．②
∵

AF

=λ

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），
由此得x₁=-λx₂．③
由①②③，得

1

2

+

3

4k2

=

λ

(λ-1)2

=

1

( λ - 1 λ )2

．…（9分）
因为2≤λ≤3，所以

2

2

≤

λ

-

1

λ

≤

2 3

3

，从而

3

4

≤

1

( λ - 1 λ )2

≤2，
解不等式

3

4

≤

1

2

+

3

4k2

≤2，得

1

2

≤k²≤3．
故k的取值范围是[-

3

，-

2

2

]∪[

2

2

，

3

]．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．