Question

已知⊙O1：(x-1)2+y2=9，⊙O2：x2+y2-10x+m2-2m+17=0(m∈R)．
（Ⅰ）求⊙O₂半径的最大值；
（Ⅱ）当⊙O₂半径最大时，试判断⊙O₁和⊙O₂的位置关系；
（Ⅲ）⊙O₂半径最大时，如果⊙O₁和⊙O₂相交．
（1）求⊙O₁和⊙O₂公共弦所在直线l₁的方程；
（2）设直线l₁交x轴于点F，抛物线C以坐标原点O为顶点，以F为焦点，直线l₂：y=k（x-3）（k≠0）与抛物线C相交于A、B两点，证明：

OA

•

OB

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把第二个圆的方程化为标准形式，再利用二次函数的性质，求得⊙O₂半径的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当⊙O₂半径最大时，⊙O₁和⊙O₂是半径为3的等圆，再根据圆心距小于半径之和可得⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅲ）求得⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程．
（2）由条件求得抛物线C：y²=12x，把y=k（x-3）（k≠0）代入y²=12x化简，并利用韦达定理求得y₁y₂和x₁x₂的值，计算求得

OA

•

OB

为定值．

解答：解：（Ⅰ） x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，
设⊙O₂半径为r，则r²=-（m-1）²+9≤9，∴r≤3，
所以⊙O₂半径的最大值为3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当⊙O₂半径最大时，⊙O₁和⊙O₂是半径为3的等圆，O₂（5，0），
又∵⊙O1：(x-1)2+y2=9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．
∴⊙O₁和⊙O₂相交．
（Ⅲ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程为：x=3．
（2）由（1）知F（3，0），∵抛物线C以F（3，0）为焦点，以原点O为顶点，∴C：y²=12x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y=k（x-3）（k≠0）得：x=

y

k

+3，将它代入y²=12x化简得：ky²-12y-36k=0，
∴y₁y₂=-36．∴x1x2=

y 2 1

12

•

y 2 2

12

=

(y1y2)2

12×12

=9，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-27，即

OA

•

OB

为定值．

点评：本题主要考查圆和圆的位置关系的判断，直线和圆相交的性质，二次函数的性质，属于中档题．