题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为4
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（I）求椭圆C的方程；
（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．
分析：（I）由离心率为
得a=
c，由△F1AB周长为4
可求得a值，进而求得b值；
（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形0APB为平行四边形，∴
=
+
，根据韦达定理可把P点坐标用k表示出来，再代入椭圆方程即可求得k值；
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），易判断直线存在斜率，设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆联立方程组消y得x的二次方程，∵四边形0APB为平行四边形，∴
| OP |
| OA |
| OB |
解答：解：（I）∵椭圆离心率为
，∴
=
，∴a=
c，
又△F1AB周长为4
，∴4a=4
，解得a=
，∴c=1，b=
，
∴椭圆C的标准方程为：
+
=1；
（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，
∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=
，
故y1+y2=k（x1+x2）-2k=
-2k=
，
∵四边形OAPB为平行四边形，∴
=
+
，
从而x0=x1+x2=
，y0=y1+y2=
，
又P（x0，y0）在椭圆上，∴
+
=1，
整理得：
+
=1，12k4+8k2=4+12k2+9k4，3k4-4k2-4=0，解得k=±
，
故所求直线l的方程为：y=±
（x-1）．
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
| 3 |
又△F1AB周长为4
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴椭圆C的标准方程为：
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（II）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，
∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1），
将直线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，∴x1+x2=
| 6k2 |
| 2+3k2 |
故y1+y2=k（x1+x2）-2k=
| 6k3 |
| 2+3k2 |
| -4k |
| 2+3k2 |
∵四边形OAPB为平行四边形，∴
| OP |
| OA |
| OB |
从而x0=x1+x2=
| 6k2 |
| 2+3k2 |
| -4k |
| 2+3k2 |
又P（x0，y0）在椭圆上，∴
(
| ||
| 3 |
(
| ||
| 2 |
整理得：
| 36k4 |
| 3(2+3k2)2 |
| 16k2 |
| 2(2+3k2)2 |
| 2 |
故所求直线l的方程为：y=±
| 2 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．
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