题目内容

若不等式 $数学公式$ ≤a≤ $数学公式$ 在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是

A.
[ $数学公式$ ，1]
B.
[ $数学公式$ ，1]
C.
[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]
D.
[ $数学公式$ ，2 $数学公式$ ]

B
分析：由基本不等式，算出函数y= $\text{[math]}$ 在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ；根据二次函数的性质，算出t=2时 $\text{[math]}$ 的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，1]．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，在t∈（0，2]上为减函数
∴当t=2时， $\text{[math]}$ 的最小值为1；
又∵ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当t=3时等号成立
∴函数y= $\text{[math]}$ 在区间（0，2]上为增函数
可得t=2时， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$
∵不等式 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 在t∈（0，2]上恒成立，
∴（ $\text{[math]}$ ）_max≤a≤（ $\text{[math]}$ ）_min，即 $\text{[math]}$ ≤a≤1
可得a的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，1]
点评：本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．