题目内容

某射手每次射击击中目标的概率是 $数学公式$ ，且各次射击的结果互不影响；
（1）假设这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加2分．记ξ为射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列及其数学期望．

解：（1）根据射手每次射击击中目标的概率是 $\text{[math]}$ ，且各次射击的结果互不影响，故这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率 $\text{[math]}$ ．
（2）由题意可得若3次都没有击中，则得分ξ=0分．若3次射击只有一次击中，则得分ξ=1分．若3次射击只有2次击中，且这两次射击不连续，则得分ξ=2分．
若3次射击有2次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分，此时得分ξ=3分．
若3次全击中，则额外加2分，此时得分ξ=5分．
故ξ的分布列为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=3）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=5）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴得分ξ的数学期望为Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，可得这名射手射击3次，求恰有两次击中目标的概率 $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
（2）由题意可得，得分ξ=0，1，2，3，5，再分别求得ξ取每一个值的概率，即可求得恰有两次击中目标的概率，再根据得分ξ的数学期望的定义，求得ξ的数学期望．
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．