Question

(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) ，  （Ⅲ）

解析:

：(1) ∵，       ①∴．②

②－①，得，即 （3分）

在①中令，可得．∴是首项为，公比为的等比数列，．（4分）

(2) 由(1)可得．

．

∴，                     （5分）

．

而，且，

∴，．∴，（）．  8分）

(3) 由(2)知 ，，（）．

∴当时，．

∴，（10分）

（当且仅当时取等号）．另一方面，当，时，

．

∵，∴．

∴，（当且仅当时取等号）．（13分）

∴．（当且仅当时取等号）．

综上所述，，（）．（14分）