Question

若为集合且的子集，且满足两个条件：

①；

②对任意的，至少存在一个，使或.

		…
		…
…	…	…	…
		…

则称集合组具有性质.

如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.

（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；

集合组1：；

集合组2：.

（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；

（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）

Answer 1

（Ⅰ）解：集合组1具有性质.                                ……………1分

所对应的数表为：

………………3分

集合组2不具有性质.                                      …………4分

因为存在，

有，

与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.      ………5分

（Ⅱ）

                                                               ……………7分

.                 ………………8分

 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）

（Ⅲ）设所对应的数表为数表，

因为集合组为具有性质的集合组，

所以集合组满足条件①和②，

由条件①：，

可得对任意，都存在有，

所以，即第行不全为0，

所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.                   ………………9分

由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.

所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.               ………………10分

因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，

所以.

又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.

所以.                                                 ………………12分

因为等于表格中数字1的个数，

所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，

而时，在数表中，

的个数为的行最多行；

的个数为的行最多行；

的个数为的行最多行；

的个数为的行最多行；

因为上述共有行，所以还有行各有个，

所以此时表格中最少有个.

所以的最小值为.                   ………………14分