题目内容
(2012•临沂一模)直线l过点(4,0)且与圆(x-1)2+(y-2)2=25交于A、B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为
x=4或5x-12y-20=0
x=4或5x-12y-20=0
.分析:由圆的标准方程找出圆心的坐标和半径r,由弦AB的长及圆的半径,根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离为3,分两种情况考虑:当直线l与x轴垂直时,直线x=4满足题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,根据直线l过(4,0)及设出的斜率表示出直线l的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,让d等于3列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出直线l的方程,综上,得到所有满足题意的直线l的方程.
解答:解:由圆(x-1)2+(y-2)2=25,得到圆心坐标为(1,2),半径r=5,
∵|AB|=8,r=5,∴圆心到直线l的距离d=
=3,
若直线l垂直于x轴,此时直线l方程为x=4,
而圆心(1,2)到直线x=4的距离为3,符合题意;
若直线l与x轴不垂直,设直线l斜率为k,其方程为:y-0=k(x-4),即kx-y-4k=0,
∴圆心到直线l的距离d=
=3,解得:k=
,
此时直线l的方程为:5x-12y-20=0,
综上,所有满足题意的直线l方程为:x=4或5x-12y-20=0.
故答案为:x=4或5x-12y-20=0
∵|AB|=8,r=5,∴圆心到直线l的距离d=
r2-(
|
若直线l垂直于x轴,此时直线l方程为x=4,
而圆心(1,2)到直线x=4的距离为3,符合题意;
若直线l与x轴不垂直,设直线l斜率为k,其方程为:y-0=k(x-4),即kx-y-4k=0,
∴圆心到直线l的距离d=
|3k+2| | ||
|
5 |
12 |
此时直线l的方程为:5x-12y-20=0,
综上,所有满足题意的直线l方程为:x=4或5x-12y-20=0.
故答案为:x=4或5x-12y-20=0
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,以及直线的点斜式方程,利用了分类讨论的数学思想,是一道综合性较强的题.本题的答案有两解,注意不要漏解.
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