Question

设椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线AF₁的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）题设知F₁和F₂的坐标，根据，推断有，设点A的坐标为根据原点O到直线AF₁的距离求得a，进而求得b．答案可得．
（2）设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设Q（x₁，y₁），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．进而可得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y），求得x₁和y₁，代入椭圆方程即可求得k，进而得到直线斜率．
解答：解：（1）由题设知F₁（-，0），F₂（，0），其中a＞
由于，则有，所以点A的坐标为（±
故AF₁所在直线方程为y=±（），所以坐标原点O到直线AF₁的距离为，
又|OF₁|=，所以=|=，解得：a=2．
∴所求椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），故M（0，k）．
设Q（x₁，y₁），由于Q，F，三点共线，且|MQ|=|2QF|．
根据题意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得或
又Q在椭圆C上，故或，
解得k=0，k=±4，综上，直线的斜率为0或±4
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．常需要直线方程和椭圆方程联立，根据韦达定理求得问题．