Question

已知首项为a（a≠0）的数列{a_n}的前n项和为S_n，，若对任意的正整数m、n，都有

Sn

Sm

=(

n

m

)2．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a=1，数列{b_n}的首项为b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项，求证：数列|b_n-1|为等比数列；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中的数列{a_n}和{b_n}及任意正整数n，均有2an+b_n+11≥0成立，求实数b的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在

Sn

Sm

=(

n

m

)2中，取m=1，得

Sn

1

=n2，即S_n=n²a，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²a-（n-1）²a=（2n-1）a，
当n=1时，a₁=a也适合上式，
∴a_n=（2n-1）a，n∈N⁺，
∵a_n+1-a_n=2a，
∴{a_n}是以a为首项，2a为公差的等差数列．
（Ⅱ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）可得a_n=2n-1，
∴b_n=2b_n-1-1，
即有b_n-1=2（b_n-1-1），
b₁-1=b-1≠0，
∴{b_n-1}是以b-1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n-1=（b-1）•2^n-1，
∴b_n=1+（b-1）•2^n-1，
∴由题意得，不等式2^2n-1+（b-1）•2^n-1+12≥0对任意正整数n恒成立，
即b-1≥-

22n-1+12

2n-1

=-(2n+

24

2n

)恒成立．
设t=2ⁿ（t=2，4，8，…），则b-1＞-(t+

24

t

)恒成立，
对于函数y=x+

24

x

，
y′= 1-

24

x2

=

(x+2 6 )(x-2 6 )

x2

．
当x∈(-2

6

，2

6

)时，y′＜0，当x∈(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）时，y′＞0，
∴函数y=x+

24

x

在(-2

6

，2

6

)上单调减，在(-∞，-2

6

)和（2

6

，+∞）上单调增．
又当x=4时，y=10；当x=8时，y=11，∴y=t+

24

t

的最小值是10．∴b-1≥[-(2n+

24

2n

)]min=-10．
即b≥-9，
∴实数b的最小值是-9．