题目内容

设函数f（x）=2sinx-cosx．
（1）若x₀是函数f（x）的一个零点，求cos2x₀的值；
（2）若x₀是函数f（x）的一个极值点，求sin2x₀的值．

解：（1）∵x₀是函数f（x）的一个零点，∴2sinx₀-cosx₀=0，从而 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
（2）f'（x）=2cosx+sinx，
∵x₀是函数f（x）的一个极值点
∴f′（x₀）=0，
∴2cosx₀+sinx₀=0，从而 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）x₀是函数f（x）的一个零点，即2sinx₀-cosx₀=0，由同角三角函数基本关系式得 $\text{[math]}$ ，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将cos2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入 $\text{[math]}$ 即可
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），因为x₀是函数f（x）的一个极值点，所以f′（x₀）=0，由同角三角函数基本关系式得 $\text{[math]}$ ，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将sin2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入 $\text{[math]}$ 即可
点评：本题考查了同角三角函数基本关系式及其应用，二倍角公式，导数与函数极值的关系，整体代入求值的思想方法