题目内容
已知单位向量
，
的夹角为
，且
=2
+k
，
=
+
，
=
-2
；
（1）若A，B，D三点共线，求k的值；
（2）是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）若△ABC中角B为钝角，求k的范围．
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| AB |
| a |
| b |
| BC |
| a |
| b |
| CD |
| a |
| b |
（1）若A，B，D三点共线，求k的值；
（2）是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（3）若△ABC中角B为钝角，求k的范围．
分析：（1）根据向量共线的充要条件，可得A，B，D三点共线，则
=λ
，构造方程可求出k的值；
（2）根据两个向量垂直，向量积为0，分别讨论△ABD中，角B为直角，角A为直角和角D为直角时，关于k的方程是否有解，最后综合讨论结果，可得是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形．
（3）若△ABC中角B为钝角，可得
，
夹角为锐角，即
•
＞0，解出k值后，除去让
，
共线时的k值，可得答案．
| AB |
| BD |
（2）根据两个向量垂直，向量积为0，分别讨论△ABD中，角B为直角，角A为直角和角D为直角时，关于k的方程是否有解，最后综合讨论结果，可得是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形．
（3）若△ABC中角B为钝角，可得
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
| AB |
| BC |
解答：解：（1）∵
=2
+k
，
=
+
，
=
-2
；
∴
=
+
=2
-
；
∵A，B，D三点共线，
∴
=λ
即2
+k
=λ（2
-
）
即
解得k=-1
（2）∵单位向量
，
的夹角为
，
∴
2=1，
2=1，
•
=
在△ABD中，
若角B为直角，则
•
=（2
+k
）•（2
-
）=0，此时方程无解；
若角A为直角，则
•
=
•（
+
）=（2
+k
）•[4
+（k-1）
]=0，即k2+2k+7=0此时方程无解；
若角D为直角，则
•
=
•（
+
）=（2
-
）•[4
+（k-1）
]=0，此时方程无解；
综上点A、B、D不能构成直角三角形，
（3）若△ABC中角B为钝角，则
，
夹角为锐角，
∴
•
=（2
+k
）•（
+
）=3+
k＞0，解得k＞-2
又∵k＞2时，
，
同向，夹角为0°
故k的范围为（-2，2）∪（2，+∞）
| AB |
| a |
| b |
| BC |
| a |
| b |
| CD |
| a |
| b |
∴
| BD |
| BC |
| CD |
| a |
| b |
∵A，B，D三点共线，
∴
| AB |
| BD |
即2
| a |
| b |
| a |
| b |
即
|
解得k=-1
（2）∵单位向量
| a |
| b |
| π |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
在△ABD中，
若角B为直角，则
| AB |
| BD |
| a |
| b |
| a |
| b |
若角A为直角，则
| AB |
| AD |
| AB |
| AB |
| BD |
| a |
| b |
| a |
| b |
若角D为直角，则
| BD |
| AD |
| BD |
| AB |
| BD |
| a |
| b |
| a |
| b |
综上点A、B、D不能构成直角三角形，
（3）若△ABC中角B为钝角，则
| AB |
| BC |
∴
| AB |
| BC |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
又∵k＞2时，
| AB |
| BC |
故k的范围为（-2，2）∪（2，+∞）
点评：本题考查的知识点是向量平行，向量垂直，向量的夹角，熟练掌握向量平等、垂直、夹角公式是解答的关键，其中（3）易忽略两向量共线时的情况，而错解为（-2，+∞）
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