Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1有公共焦点，右焦点为F，且两支曲线在第一象限的交点为P，若|PF|=2，则双曲线的离心率为（　　）

• A、5
• B、

  3

• C、

  1

  2

• D、2

Answer 1

分析：根据题意求出椭圆的右焦点为F（2，0），利用两点间的距离公式与椭圆的方程，算出点P坐标为（

3

2

，

15

2

），由点P在双曲线上且椭圆与双曲线有公共的焦点，建立关于a、b的方程组，解出a、b之值再利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答：解：∵椭圆

x2

9

+

y2

5

=1中，c=

9-5

=2，∴椭圆的右焦点为F（2，0）．
设椭圆与双曲线的交点为P（m，n），（m＞0，n＞0）
可得

m2 9 + n2 5 =1 (m-2)2+n2 =2

，解之得m=

3

2

，n=

15

2

，得P坐标为（

3

2

，

15

2

），
又∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与椭圆有公共焦点，且经过点P（

3

2

，

15

2

），
∴

( 3 2 )2 a2 - ( 15 2 )2 b2 =1 a2+b2=4

，解之得a=1，b=

3

，
因此，双曲线的离心率e=

c

a

=2．
故选：D

点评：本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，在已知它们的一个交点坐标的情况下求双曲线的离心率．着重考查了椭圆和双曲线的标准方程、简单几何性质、两点间的距离公式等知识，属于中档题．