Question

已知椭圆C的焦点分别为F₁（-2，0）和F₂（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

Answer 1

【答案】分析：先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．
解答：解：设椭圆C的方程为+=1，
由题意a=3，c=2，
b==1．（3分）
∴椭圆C的方程为+y²=1．（5分）
联立方程组，消y得10x²+36x+27=0，
因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，
故线段AB的中点坐标为（-，）．（12分）
点评：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．