题目内容
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的取值范围．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的取值范围．
分析：（Ⅰ）结合已知表达式，利用正弦定理直接求出B的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）得到A+C的值，化简cosA+cosC为一个角的三角函数，结合角的范围即可求出表达式的取值范围
（Ⅱ）利用（Ⅰ）得到A+C的值，化简cosA+cosC为一个角的三角函数，结合角的范围即可求出表达式的取值范围
解答：解：（Ⅰ）由a=bsinA，根据正弦定理得sinA=sinBsinA，A、B是△ABC的内角
所以sinA≠0，
所以sinB=1，
得B=
． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+C=
，
则有cosA+cosC=cosA+cos（
-A）=cosA+sinA=
sin(A+
)，
∵A∈(0，
)
∴A+
∈(
，
)，
∴sin（A+
]∈(
，1]，
sin(A+
)∈（1，
]，
故cosA+cosC∈（1，
]
（10分）
所以sinA≠0，
所以sinB=1，
得B=
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A+C=
| π |
| 2 |
则有cosA+cosC=cosA+cos（
| π |
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵A∈(0，
| π |
| 2 |
∴A+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴sin（A+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
故cosA+cosC∈（1，
| 2 |
（10分）
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，正弦定理与两角和与差的正弦函数的应用，考查计算能力．
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