Question

已知正△ABC的边长为2

3

，则到三个顶点的距离都为1的平面有

8

个．

Answer 1

分析：当三个点在平面的同一侧，且距离三个点所形成的平面距离为1，这样的平面有2个，当三个点中有两个点在平面的同一侧，第三个点在平面的另一侧，这样的平面有六个，把两种结果相加即可得解．

解答：解：当三个点在平面的同一侧且距离三个点所形成的平面距离为1，这样的平面有2个．
    当三个点钟有两个点在平面的同一侧，第三个点在平面的另一侧时
       不妨假设B，C在一侧，A在另一侧当平面过正△ABC的中心且和面ABC垂直时点A和B，C到此面的距离为

(2 3 )2-( 3 )2

2

=

3

2

＞1
       所以到三个顶点的距离都为1的平面不与面ABC垂直且有一定的倾斜度可保证到三个顶点的距离都为1故可根据对称性这样的平面有2个
     所以此类情况下共有3×2=6个平面符合题意
综上所述共有2+6=8个平面
故答案为8

点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查点到平面的距离，本题不需要计算，是一个较简单的题目，注意不要漏掉某一种情况！