Question

已知二次函数y＝-x²+2ax+(a-2)在x∈［-1，2］上有最大值4，求实数a的值.

Answer 1

思路解析：该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝-(x-a)²+a²+a-2,即当x＝a时,y_max＝a²+a-2目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取得均不同）.

解：y＝-x²+2ax+(a-2)＝-（x-a）²+a²+a-2,

①若a∈［-1,2］,则当x＝a时，y_max＝a²+a-2,由题意知a²+a-2=4,而a²+a-6＝0,a=-3或a＝2,

∵a∈［-1,2］,∴a＝2符合条件.

②若a＜-1，

∵二次函数y＝f(x)在［a,+∞)上单调递减，即在［-1，2］上单调递减，

∴当x＝-1时，y_max＝-1-2a+a-2＝-a-3,由-a-3＝4，得a＝-7(＜-1).

∴a＝-7符合条件.

③若a＞2,则二次函数y＝f(x)在［-1,2］上单调递增，

∴当x＝2时，y_max＝-4+4a+a-2＝5a-6.由5a-6＝4,得a＝2(≯2).

∴此时不存在符合条件的a.

综上，符合条件的a的值为2或-7.