Question

在函数y=log_ax(0＜a＜1,x≥1)的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为t、t+2、t+4,设△ABC的面积为S.

(1)求S关于t的函数表达式；

(2)判断S(t)的单调性；

(3)求函数S(t)的值域.

Answer 1

解：(1)如下所示，设A′、B′、C′是A、B、C在x轴上的射影，则A(t,log_at),B(t+2,log_a(t+2)),C(t+4,log_a(t+4));设BB′与AC相交于点D，则可得D(t+2,).

    于是S(t)=|A′C′|·|BD|

=·4·［-log_a(t+2)］

=2log_a

=log_a(0＜a＜1,t≥1).

(2)由S(t)=log_a［］(0＜a＜1)知S(t)是［1，+∞)上的减函数(证明略).

(3)当t=1时，S(t)取最大值为log_a.

    又当t→+∞时，S(t)→0,

∴S(t)的值域为(0，log_a ).