Question

设函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间以及f（x）在（0，

π

2

）上的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（A）=1，a=

7

，b=3，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行展开，合并同类项，再用辅助角公式化简，用三角函数的图象与性质，可求函数f（x）的单调递增区间，值域．
（Ⅱ）（II）由 f（A）=1 求得sin（2A-

π

6

）=1，根据-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

求出A，利用余弦定理求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=sin（2x-

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）
当x∈（0，

π

2

）时，2x-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，∴f（x）∈(-

1

2

，1]
（Ⅱ）由（I）可知，f（A）=sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

∵a²=b²+c²-2bccosA，把a=

7

，b=3代入，得到c²-3c+2=0，解得c=1或c=2．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角差的正弦函数公式等知识，考查计算能力．