Question

(1)连结正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体．

(2)连结上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？

Answer 1

【探究】 连结相应点后,得出图形如图，再作出判断．

(1)先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可．

如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆分别是各表面的中心．由点O₁、O₂、O₃、O₄、O₅、O₆组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱．该多面体的图形如图中的右图所示．

(2)六面体(正方体)．

【规律总结】 为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O₁O₅、O₆O₅、O₅O₂、O₅O₄应画成虚线．

    本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是有相同边数的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱．由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O₂O₃O₄O₅还是正方形，当然其他的如O₁O₂O₆O₄等也是正方形．

     事实上，由正方体的部分顶点可构成多种形状的简单几何体．如多面体ACB₁D₁便为四面体，即三棱锥，它是面数最少的空间几何体，而且该四面体也是正四面体；又如多面体A₁ABD也是四面体，它是一个直角四面体，它也可看作是由正方体截下一个角所得的几何体，且截面是一个锐角三角形．