Question

已知圆心在直线3x-y=0上的圆C在x轴的上方与x轴相切，且半径为3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y+1=k（x+2）与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，b），又半径r=3，写出圆C的标准方程，由圆心C在直线3x-y=0上，把设出的圆心C坐标代入直线方程可得a与b的关系式，又根据圆与x轴相切，可得圆心的纵坐标的绝对值即|b|等于圆的半径3，又圆C在x轴上方可得b大于0，从而求出b的值，把b的值代入a与b的关系式中求出a的值，从而确定出圆C的方程；
（Ⅱ）由第一问求出的圆C的方程，找出圆心C的坐标和圆的半径，根据直线l与圆C相切，可得圆心C到直线l的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，令d等于半径3列出关于k的方程，求出方程的解即可确定出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=9，
由圆心在直线3x-y=0上，可得3a-b=0，
又圆与x轴相切，可得|b|=3，
由圆C在x轴上方，可得b＞0，所以b=3，
把b=3代入3a-b=0，解得a=1，
则圆C的方程为（x-1）²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，
设圆心到直线y+1=k（x+2）的距离d，
∵直线l与圆C相切，
∴d==3，
∴k=，
∴直线l的方程为y+1=（x+2），即7x-24y-10=0．
点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，确定出圆心坐标和圆的半径是写出圆标准方程的前提，熟练掌握直线与圆的位置关系相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径是解第二问的关键．