题目内容
8.设命题p:实数x满足|x-1|>a其中a>0;命题q:实数x满足${3^{{x^2}-x-6}}$<1(1)若命题p中a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
分析 (1)a=1时,得出命题p:x>2,或x<0,命题q:-2<x<3,而由p∧q为真得到p,q都为真,从而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x>2,或x<0}\\{-2<x<3}\end{array}\right.$即得实数x的取值范围;
(2)先求出命题¬p:x<1-a,或x>1+a,a>0,从而由¬p是q的必要不充分条件得到$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a+1≥3}\\{1-a≤-2}\end{array}\right.$,解该不等式组即得实数a的取值范围.
解答 解:(1)当a=1时,p:x>2或x<0,q:-2<x<3;
又p∧q真,∴p,q都为真;
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{x>2或x<0}\\{-2<x<3}\end{array}}\right.$得-2<x<0或2<x<3;
∴实数x取值范围为(-2,0)∪(2,3);
(2)p:|x-1|>a,∴x<1-a或x>1+a,a>0,¬p:1-a≤x≤1+a,a>0;
∵¬p是q的必要不充分条件;
∴$\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{a+1≥3}\\{1-a≤-2}\end{array}\right.$;
∴a≥3;
∴实数a的取值范围为[3,+∞).
点评 考查含绝对值不等式的解法,根据指数函数的单调性解不等式,一元二次不等式的解法,以及由命题p能写出命题¬p,必要不充分条件的概念.
练习册系列答案
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②函数f(x)在[2,4]上是减函数;
③如果当x∈[m,5]时,f(x)的最小值是-2,那么m的最大值为4;
④函数y=f(x)-a(a∈R)的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
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