Question

1．已知M（1+cos2x，1），N（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）（ x∈R，a为常数a∈R），且y=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为2，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，说明f（x）的图象可由y=2sinx的图象如何变换得到？

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式y=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
（3）由（2）得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答 解：（1）y=f（x）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（1+cos2x，1）•（1，$\sqrt{3}$sin2x+a）
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1…（4分）
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值a+3．
由已知得a+3=2，
∴a=-1 …（8分）
（3）由（2）得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．变换过程如下：
将y=2sinx图象上所有点向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变即可得到：
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．