Question

三棱锥A-BCD内接于球0，BC=AD=2

3

，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=

π

2

，顶点A在面BCD上的射影恰在BD上，．一动点M从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其它3个顶点后回到出发点，则动点M经过的最短距离为

 

．

Answer 1

分析：首先确定球心的位置，根据直角三角形的勾股定理求出球的半径，找出最短距离是M的路径是A→B→C→D→A，根据直角三角形的性质知∠AOB=60°，∠AOD=120°，∠BOC=120°，∠COD=60°，M沿着这个路径，在球面上走大圆，刚好走过一个大圆，得到结果．

解答：解：设球0的半径为r，设E为直角三角形BCD的斜边BD的中点，
则E为过△BCD的小圆的圆心，根据直角三角形的性质知E是BD中点，
∴0E⊥面BCD，直角三角形0ED中，由勾股定理得 0D=r=2
∵∠BAD=∠BCD=

π

2

，
∴M的路径是A→B→C→D→A，
根据直角三角形的性质知∠AOB=60°，∠AOD=120°，∠BOC=120°，∠COD=60°
∴M沿着这个路径，在球面上走大圆，刚好走过一个大圆，
∴最短路径是4π
故答案为：4π

点评：本题考查多面体旋转体表面上的最短距离问题，考查直角三角形的性质，考查两点的球面最短距离是大圆的圆周，是一个综合题目．