题目内容
在数列{an} 中，a1=0，an+1=-an+3n，其中n=1，2，3…．（I）求数列{an} 的通项公式；
（II）求
| an | an+1 |
分析：（I）因为从数列{an}的递推公式 中，不容易找到规律，可考虑用构造法构造新函数，观察可得，an+1-
=-（an-
），所以）数列{an-
}为等比数列，先求出它的通项公式，继而求数列{an} 的通项公式．
（II）由（I）得到的数列{an} 的通项公式，可以代入
，化简，再根据单调性求极值．
| 3n+1 |
| 4 |
| 3n |
| 4 |
| 3n |
| 4 |
（II）由（I）得到的数列{an} 的通项公式，可以代入
| an |
| an+1 |
解答：解：（I）由a1=0，且an+1=-an+3n（n=1，2，3，…）
得a2=-a1+3=3，a3=-a2+32=6．
（由an+1=-an+3n，变形得an+1-
=-（an-
），∴{an-
}
是首项为a1-
=-
公比为-1的等比数列
∴an-
=-
（-1）n-1∴an=
+(-1)n
（n=1，2，3…）
（II）①当n是偶数时，
=
=
=
+
，
∴
随n增大而减少，∴当n为偶数时，
最大值是
．
②当n是奇数时，
=
=
=
-
∴
随n增大而增大且
=
-
＜
＜
综上
最大值为
．
得a2=-a1+3=3，a3=-a2+32=6．
（由an+1=-an+3n，变形得an+1-
| 3n+1 |
| 4 |
| 3n |
| 4 |
| 3n |
| 4 |
是首项为a1-
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴an-
| 3n |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3n |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（II）①当n是偶数时，
| an |
| an+1 |
| ||||
|
| 3n+3 |
| 3n+1-3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3n+1-3 |
∴
| an |
| an+1 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| 2 |
②当n是奇数时，
| an |
| an+1 |
| ||||
|
| 3n-3 |
| 3n+1+3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3n+1+3 |
∴
| an |
| an+1 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3n+1+3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
综上
| an |
| an+1 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及利用数列单调性求最值，做题时应认真分析．
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