Question

已知数列a_n，b_n，满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（I）求证数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列a_n的通项公式；
（II）令C_n=b_nb_n+1，S_n为数列C_n的前n项和，求证：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）将b_n=a_n-1代入2a_n=1+a_na_n+1，可得b_n的递推关系式，整理变形可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，由等差数列的定义可得 {

1

bn

}为等差数列，故可求其通项公式，进而求出a_n．
（2）根据（1）知C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项法求得数列 {C_n}的前n项的和，即可证得结论．

解答：解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，从而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=n，即 bn=

1

n

；
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

，
（2）由题意可知：C_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=C_n+C_n+C_n+…+C_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．
即S_n＜1．

点评：此题是个中档题．本题主要考查了等比差数列的定义、裂项法求和问题，和不等式与数列的综合．考查了学生对基础知识的综合运用．