题目内容

已知函数f（x）=（x²-x- $数学公式$ ）e^ax（a≠0）
（1）求曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程
（2）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间
（3）当a＞0时，若不等式f（x）+ $数学公式$ ≥0，对x∈[- $数学公式$ ，+∝）恒成立，求a的取值范围．

解：（1）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），f（0）=- $\text{[math]}$ ，f'（0）=-2
所以切线方程为2x+y+ $\text{[math]}$ =0
（2）令f′（x）=0则x=1或 $\text{[math]}$
当a＜-2时，f（x）在（-∞，- $\text{[math]}$ ）和（1，+∞）上单调递减，在（- $\text{[math]}$ ，1）上单调递增；
当a=-2时，f′（x）≤0，f（x）在R上减函数；
当-2＜a＜0时，f（x）在（-∞，1）和（- $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减，在（1，- $\text{[math]}$ ）上单调递增；
（3）当a＞0时，

∵f（- $\text{[math]}$ ）＞0，f（1）＜0∴f（1）=- $\text{[math]}$ e^a为最小值
∴- $\text{[math]}$ e^a+ $\text{[math]}$ ≥0对x∈[- $\text{[math]}$ ，+∞）恒成立∴a∈（0，ln3]
分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后求出f（0），f'（0）的值，得到了切点坐标和切线的斜率，利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）先求出f′（x）=0的值，讨论a与-2的大小关系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间；
（3）讨论满足f′（x）=0的点将区间[- $\text{[math]}$ ，+∞）分成几段，然后利用列表法求出f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出最小值，使[f（x）+ $\text{[math]}$ ]min≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．