Question

已知数列3.9，3.99，3.999，…，3.，…

（1）写出它的通项a_n；

（2）计算|a_n－4|；

（3）第几项以后所有的项与4的差的绝对值小于0.001？

（4）指出这个数列的极限.

Answer 1

解：（1）a_n=4－（）ⁿ.

（2）|a_n－4|=|4－（）ⁿ－4|=（）ⁿ.

（3）设第n项以后所有的项与4的差的绝对值小于0.001，则|a_n－4|=（）ⁿ<0.001，

∴n>3，即第3项以后满足要求.

（4）数列{4－（）ⁿ}的各项与4的差的绝对值随n的增大，越来越小，无限地接近于0，即各项随n的增大无限地趋近于常数4.因此该数列的极限为4.

点评：无穷数列{a_n}的项a_n无限地趋近于某个常数a，即a_n与a的差的绝对值无限地接近于0，或a_n与a的差的绝对值越来越小，这个常数a即为数列{a_n}的极限.