题目内容
如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=| 3 |
| A、9π | B、12π |
| C、16π | D、32π |
分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．
解答：解：∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
∴2R=
•
，∴R=
，∴S=4πR2=4π•(
)2 =9π，
故选A．
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
∴2R=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故选A．
点评：本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．
练习册系列答案
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MN，若侧棱长SA=
，则正三棱锥S—ABC的外接球的表面积为 （ ）
B．12
，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为
B
D 
，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）
，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）