Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程f（x）=x有两个相等的实数根，则△=0，得b，又由f（2）=0，可求a，从而求得f（x）．
（2）先配方确定函数的对称轴，从而可求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）由的最大值，确定n≤

1

4

，从而知当n≤

1

4

时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)=2m f(n)=2n

，从而可求m，n的值．

解答：解：（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0的判别式为零
∴（b-1）²=0
∴b=1
代入①a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x
（2）f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

∴函数的对称轴为x=1
∴当x=1时，函数取得最大值为f(1)=

1

2

；
当x=-3时，函数取得最小值为f(-3)=-

15

2

； 
 （3）∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
∴2n≤

1

2

∴n≤

1

4

而f（x）=-

1

2

x2+x的对称轴为x=1，
∴当n≤

1

4

时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)=2m f(n)=2n

即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

∴

m=0或m=-2 n=0或n=-2

∵m＜n≤

1

4

．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评：本题以二次函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想，充分利用二次函数的性质是解题的关键．