已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足2Sn=pan-2n.n∈N*.其中常数p＞2．(1)证明:数列{an+1}为等比数列,(2)若a2=3.求数列{an}的通项公式,中数列{an}.若数列{bn}满足bn=log2(an+1)(n∈N*).在bk与bk+1之间插入2k-1(k∈N*)个2.得到一个新的数列{cn}.试问:是否存在正整数m.使得数列{cn}的前m项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常数p＞2．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）若a₂=3，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

分析：（1）把S_n和S_n+1相减整理求得2a_n+1=pa_n+1-pa_n-2，整理出1+a_n+1=

p-2

（1+a_n），判断出数列{1+a_n}是首项为

p-2

+1，公比为

p-2

的等比数列，证得数列{a_n+1}为等比数列．
（2）先根据a₂=3求出p的值，然后利用等比数列求出数列{a_n}的通项公式；
（3）先求出b_n，然后求出数列C_n中，b_k（含b_k项）前的所有项的和，当k=10时，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2011，当k=11时，其和是66+2¹¹-2=2112＞2011，又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，所以当m=10+（1+2+2²++2⁸）+467=988时，T_m=2011，所以存在m=988使得T_m=2011．

解答：解：（1）∵2S_n=pa_n-2n，∴2S_n+1=pa_n+1-2（n+1），∴2a_n+1=pa_n+1-pa_n-2，
∴an+1=

p-2

an+

p-2

，∴an+1+1=

p-2

(an+1)，
∵2a₁=pa₁-2，∴a1=

p-2

＞0，∴a₁+1＞0
∴

an+1+1

an+1

p-2

≠0，∴数列{a_n+1}为等比数列．
（2）由（1）知an+1=(

p-2

)n，∴an=(

p-2

)n-1（8分）
又∵a₂=3，∴

p-2

-1=3，∴p=4，∴a_n=2ⁿ-1（10分）
（3）由（2）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n，（n∈N^*），
数列C_n中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是：(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k-2)×2=

k(k+1)

+2k-2
当k=10时，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2011
当k=11时，其和是66+2¹¹-2=2112＞2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，
所以当m=10+（1+2+2²++2⁸）+467=988时，T_m=2011，
所以存在m=988使得T_m=2011．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了等比数列的通项公式化简求值，以及存在性问题，是一道比较难的题．