题目内容

集合A₁，A₂，A₃，…，A_n为集合M={1，2，3，…，n}的n个不同的子集，对于任意不大于n的正整数i，j满足下列条件：
①i∉A_i，且每一个A_i至少含有三个元素；
②i∈A_j的充要条件是j∉A_j（其中i≠j）．
为了表示这些子集，作n行n列的数表（即n×n数表），规定第i行第j列数为：a_ij= $数学公式$ ．
（1）该表中每一列至少有多少个1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，请完成下面7×7数表（填符合题意的一种即可）；
（2）用含n的代数式表示n×n数表中1的个数f（n），并证明n≥7；
（3）设数列{a_n}前n项和为f（n），数列{c_n}的通项公式为：c_n=5a_n+1，证明不等式： $数学公式$ - $数学公式$ ＞1对任何正整数m，n都成立．（第1小题用表）
1 2 3 4 5 6 7
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0

解：（1）根据条件①每个A_i中至少含有三个元素，作出的数表每一列至少有三个1.7×7数表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

（2）题设条件①中的i∉A_i，表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，a_ij与a_ji恰好一个为1，
而另一个为0，即数表中除该对角线以外，0与1各占一半，故数表中共有f（n）= $\text{[math]}$ 个1．
另一方面，根据题设条件①每一个A_i至少含有三个元素得：
作出的n×n数表的每一列至少有3个1，所
以整个n×n数表（共有n列）至少有3n个1，
因此列出不等式： $\text{[math]}$ ≥3n，
解得n≥7．
（3）∵n≥2时，a_n=f（n）-f（n-1）=n-1
检验n=1也成立，故a_n=n-1
∴c_n=5a_n+1=5n-4
要证： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞1对任何正整数m，n都成立，
只要证：5c_mn＞1+c_m•c_n+ $\text{[math]}$
∵c_mn=5mn-4，c_m•c_n=25mn-20（m+n）+16
故只要证：5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+ $\text{[math]}$ ，
即只要证：20m+20n-37≥ $\text{[math]}$ ，又
∵ $\text{[math]}$ ≤c_m•c_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37
所以命题得证．
分析：（1）由已知中a_ij= $\text{[math]}$ ，及①i∉A_i，且每一个A_i至少含有三个元素；②i∈A_j的充要条件是j∉A_j（其中i≠j）．可得数据表中各个数据；
（2）由条件①中的i∉A_i，表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，a_ij与a_ji恰好一个为1，可得数表中除该对角线以外，0与1各占一半，即 $\text{[math]}$ 个1，而据题设条件①每一个A_i至少含有三个元素得：作出的n×n数表的每一列至少有3个1，所以整个n×n数表（共有n列）至少有3n个1，由此构造关于n的不等式，可求出n的范围
（3）由已知中确定出数列{a_n}，数列{c_n}的通项公式，可证得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞1对任何正整数m，n都成立．
点评：本题考查的知识点是数列的应用，其中正确理解已知中条件：①i∉A_i，且每一个A_i至少含有三个元素；②i∈A_j的充要条件是j∉A_j（其中i≠j）的含义是解答本题的关键．