题目内容

已知函数g(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,0<φ<π)的图象如图所示,其中点A(数学公式,2)、B(数学公式,0)分别是函数的最大值点和零点.
(I)求函数y=g(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)=2g(x)cosx+m在[0,数学公式]上的最大值为6,求函数f(x)在R上的最小值及相应的x值的集合.

解:(Ⅰ)根据图象可知 =-,解得T=2π. 再由 =2π,可得w=1.
由顶点坐标可得A=2,所以,g(x)=2sin(x+φ),
将点A点的坐标代入函数y=g(x),可得sin(+φ)=1,∴+φ=2kπ+,k∈z.
再结合0<φ<π求得 φ=
所以,g(x)=2sin(x+).…(6分)
(Ⅱ)f(x)=2g(x)cosx+m=4sin(x+)cosx+m=4(sinx+cosx)cosx+m
=2sinxcosx+2cos2x+m=sin2x+2cos2x+1+m=2sin(2x+)+m+1.…(9分)
由x∈[0,],得 2x+∈[],于是函数f(x)的最大值为2+m+1=6,解得m=3.
所以f(x)=2sin(2x+)+4.
当x∈R时,f(x)的最小值为-2+4=2,此时x满足2x+=2kπ+,k∈z,
相应的x值的集合为{x|x=kπ+,k∈z}.…(12分)
分析:(Ⅰ)根据图象可知 =-,解得T的值,进而求得w,再根据顶点坐标可得A=2,将点A点的坐标代入函数y=g(x),可得sin(+φ)=1,结合0<φ<π求得 φ,从而得到函数解析式.
(Ⅱ)根据两角和差的正弦函数化简f(x)的解析式为2sin(2x+)+m+1,根据x的范围求得f(x)的最大值为2+m+1=6,求得m的值,即可确定f(x)的解析式,由此求得函数取得最小值时x值的集合.
点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+∅)的部分图象求解析式,两角和差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
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