题目内容

已知点P在圆x2+y2=1上运动,过点P作x轴的垂线,垂足为D,点M在DP的延长线上,且有|DP|=|MP|.(1)求M点的轨迹方程C;(2)已知直线l过点(0,),且斜率为1,求l与C相交所得的弦长.

 

【答案】

(1) x2 =1 (2)

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质,以及动点的轨迹方程,涉及的知识有:直线与圆的交点,一元二次方程根与系数的关系,两点间的距离公式,点到直线的距离公式,基本不等式的运用,以及直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径的性质,利用了转化及分类讨论的思想,是一道综合性较强的试题.

(1)设出M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意DP⊥x轴,点M在DP的延长线上,且|DP|=|MP|,找出x0与x的关系及y0与y的关系,记作①,根据P在圆上,将P的坐标代入圆的方程,记作②,将①代入②,即可得到点M的轨迹方程;

(2)直线与圆联立求解方程组,结合根与系数的关系得到弦长公式。

解:(1)设P(x0,y0),M(x,y),由题意知,    ……3分

又点P在圆x2+y2=1,可得M点的轨迹方程为x2 =1.  ……6分

(2)由(1)知联立上式得4x2+(x+)2=4,5x2+2x-1=0,可知必有D>0…8分

设l与C的交点为A(x1,y1), B(x2,y2),则有x1+x2 =-,  x1x2 =-.…10分

\|AB|=|x1-x2|=

.  ……12分

 

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