题目内容

点P(2,
5
)是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的渐近线上的一点,E,F分别是双曲线的左、右焦点,若
EP
FP
=0
,则双曲线的方程为(  )
分析:由点在渐近线可得5a2=4b2,由数量积为0可得c2=9,结合a2+b2=c2=9,解之可得答案.
解答:解:由题意可得
5
=2
b
a
,即5a2=4b2
因为E,F分别是双曲线的左、右焦点,故E(-c,0),F(c,0),
EP
FP
=(2+c,
5
)•(2-c,
5
)=4-c2+5=9-c2=0,即c2=9,
又a2+b2=c2=9,结合5a2=4b2可解得a2=4,b2=5,
故双曲线的方程为
x2
4
-
y2
5
=1

故选C
点评:本题考查双曲线的标准方程,涉及数量积的运算,属中档题.
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