题目内容

定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2；　 ②f（x）=x²-x+1；　 ③f（x）=ln（x+1）；　 ④ $数学公式$
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为________．（写出所有满足条件的函数的序号）

①④
分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．
解答：

解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．
对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；
对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；
对于④，根据对称性，函数 $\text{[math]}$ 在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．
故答案为：①④．
点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题．

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函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上，值域为[-3，5]的增函数，则下列说法不正确的是（　　）

A．若f（a）?f（b）≤0，则存在x₁∈[a，b]，使f（x₁）=0

B．f（x）在区间[a，b]上有最大值f（b）=5

C．f（x）在区间[a，b]上有最小值f（a）=-3

D．f（x）在区间[a，b]上的最大值不是f（b），最小值也不是f（a）

下面给出的4个命题：
①已知命题p：?x₁，x₂∈R，

＜0，则?p：?x₁，x₂∈R，

≥0；
②函数f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x₀满足f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的不动点．若f（x）=x²+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（　　）

（2013•眉山一模）定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：
①f（x）=3x+2； ②f（x）=x²-x+1； ③f（x）=ln（x+1）； ④f(x)=(x-

)3
在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为

．（写出所有满足条件的函数的序号）

（2012•江苏二模）定义在区间[a，b]的长度为b-a，用[x]表示不超过x的最大整数．设f（x）=[x]（x-[x]），g（x）=x-1，则0≤x≤2012时，不等式f（x）≤g（x）的解集的区间长度为

函数f（x）定义在区间[a，b]上，设“min{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最小值，“max{f（x）|x∈D}”表示函数f（x）在集合D上的最大值．现设f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），
若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为区间[a，b]上的“第k类压缩函数”．
（Ⅰ）若函数f（x）=x³-3x²，x∈[0，3]，求f（x）的最大值，写出f₁（x），f₂（x）的解析式；
（Ⅱ）若m＞0，函数f（x）=x³-mx²是[0，m]上的“第3类压缩函数”，求m的取值范围．