Question

（2013•莱芜二模）设椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，焦距为2，F为右焦点，B₁为下顶点，B₂为上顶点，S△B1FB2=1．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l同时满足下列三个条件：①与直线B₁F平行；②与椭圆交于两个不同的点P、Q；③S△POQ=

2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆标准方程，知道2c可得c，再由S△B1FB2=1求出b的值，利用a²=b²+c²求出a²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由直线l与直线B₁F平行，设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的方程后由判别式大于0求出m的范围，利用根与系数关系写出x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．由弦长公式求出PQ的长度，由点到直线的距离公式求出坐标原点O到直线l的距离，代入S△POQ=

2

3

求出m的值，验证后得到符合三个条件的直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由题意知，2c=2，所以c=1．
由S△B1FB2=1，得

1

2

•2b•1=1，所以b=1，
从而a²=b²+c²=1²+1²=2．
所以所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设满足条件的直线为l．
因为直线B₁F的斜率等于1，l∥B₁F，故可设l的方程为y=x+m．
由

x2 2 +y2=1 y=x+m

，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由题意，△=16m²-12（2m²-2）＞0，解得m²＜3，
且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
所以，|PQ|=

2

|x1-x2|=

2

(x1-x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 4 3 m)2- 4(2m2-2) 3

=

4 3-m2

3

．
点O到直线l的距离为d=

|m|

2

．
由S△POQ=

1

2

•d•|PQ|=

1

2

•

|m|

2

•

4 3-m2

3

=

2 |m|• 3-m2

3

=

2

3

，
得m⁴-3m²+2=0．
解得m²=1或m²=2，所以m=±1或m=±

2

．满足m²＜3，
但当m=-1时，直线y=x-1与B₁F重合，故舍去．
所以，存在满足条件的直线l，这样的直线共3条，其方程为y=x+1，y=x-

2

，y=x+

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．