Question

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．
（1）求实数b，c的值； 
（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；
（3）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

Answer 1

解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x³+x²+bx+c，则f'（x）=﹣3x²+2x+b． 依题意得：
，
即
解得b=c=0
（2）由（1）知，
①当﹣1≤x＜1时，，
令f'（x）=0得
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；
当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．
∴f（x）在[1，2]最大值为aln2．
综上，当aln2≤2时，即时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为2；
当aln2＞2时，即时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为aln2．
（3）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t³+t²），显然t≠1
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴
即﹣t²+f（t）（t³+t²）=0（*）
若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．
若0＜t＜1，则f（t）=﹣t³+t²
代入（*）式得：﹣t²+（﹣t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴﹣t²+1=0，而此方程无解，因此t＞1．
此时f（t）=alnt，代入（*）式得：
﹣t²+（alnt）（t³+t²）=0
即（**）
令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则

∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵t＞1
∴h（t）＞h（1）=0，
∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．
∴对于a＞0，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．