题目内容
13.已知$\vec m$=($\sqrt{3}$sinx,2cosx),$\vec n$=(2cosx,-cosx),函数f(x)=$\overrightarrow{m}$.$\overrightarrow{n}$-1(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;
(2)设三角形ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,f(A)=0,求bc的取值范围.
分析 (1)利用数量积得出f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{6}$)-2,根据三角函数的性质求解即可.
(2)2sin(2A-$\frac{π}{6}$)-2=0.得出A=$\frac{π}{3}$,利用正弦定理得出2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,B+C=$\frac{2π}{3}$,bc=(2R)2sinBsin($\frac{2π}{3}$-B)(0$<B<\frac{2π}{3}$),展开得出bc=$\frac{2}{3}$sin(2B-$\frac{π}{6}$)$+\frac{1}{3}$,0$<B<\frac{2π}{3}$,根据三角函数的单调性,有界性求解即可.
解答 解:$\vec m$=($\sqrt{3}$sinx,2cosx),$\vec n$=(2cosx,-cosx),函数f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1,
(1)∵函数f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-1=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos2x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-2=2sin(2x-$\frac{π}{6}$)-2,
∴周期为T=$\frac{2π}{2}$=π,由2x-$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$,得对称轴x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{3}$,k∈z,
(2)∵a=1,f(A)=0,
∴即sin(2A-$\frac{π}{6}$)=1,2A-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,
∵a=1,
∴$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}$=2R,
即2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,B+C=$\frac{2π}{3}$,
∴化简得出bc=$\frac{4}{3}$sinBsin($\frac{2π}{3}$-B),0$<B<\frac{2π}{3}$,
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2B-$\frac{1}{3}$cos2B+$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$sin(2B-$\frac{π}{6}$)$+\frac{1}{3}$,0$<B<\frac{2π}{3}$,
根据-$\frac{π}{6}$<2B-$\frac{π}{6}$<$\frac{7π}{6}$,得出$-\frac{1}{2}$<sin(2B-$\frac{π}{6}$)≤1,
0<$\frac{2}{3}$sin(2B-$\frac{π}{6}$)$+\frac{1}{3}$≤1
即bc∈(0,1].
点评 本题考察了平面向量的数量积的运用,三角函数的图象性质,三角形的定理,属于中档题.
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
A. | 3.2 | B. | 3.0 | C. | 2.8 | D. | 2.6 |