Question

如图，在y轴的正半轴上依次有点A₁、A₂、…A_n…，其中点A₁（0，1）、A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4…），在射线y=x（x≥0）上依次有点B₁、B₂…、B_n…，点B₁的坐标为（3，3），且|OB_n|=|OB_n-1|+2

2

（n=2，3，4…）．
（1）求|A_nA_n+1|（用含字母的式子表示）；
（2）求点A_n、B_n的坐标（用含n的式子表示）；
（3）设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1面积为S_n，问{S_n}中是否存在不同的三项S₁，Sn，S_k（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，及|A₁A₂|=9，结合等比数列的通项公式即可求得|A_nA_n+1|；
（2）由（1）的结论结合等比数列的求和公式，可得|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|，从而得出A_n的坐标（0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-1），再根据|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，从而有{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出B_n的坐标．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不同的三项S₁，Sn，S_k（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列，再利用数列的函数特性，求出结果，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，且|A₁A₂|=10-1=9，
∴|A_nA_n+1|=|A₁A₂|(

1

3

)n-1=9×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-3．
（2）由（1）的结论可得
|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|=9+3+1+…+(

1

3

)n-1=

27

2

-

1

2

(

1

3

)n-1
∴A_n的坐标（0，

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-1），
∵|OB_n|-|OB_n-1|=2

2

（n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

∴{|OB_n|}是以3

2

为首项，2

2

为公差的等差数列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐标为（2n+1，2n+1）．
（3）连接A_nB_n+1，设四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为S_n，
则S_n=S △AnAn+1Bn+1+S △BnBn+1An=

1

2

(

1

3

)n-3×（2n+3）+

1

2

•2

2

•[

29

2

-

1

2

(

1

3

)n-4]

2

2

=

29

2

+

n

3n-3

由S₁，S_n，S_k（1＜n＜k，n，k∈N）成等差数列，
∴2（

29

2

+

n

3n-3

）=

29

2

+9+（

29

2

+

k

3k-3

）
即k=2•3^k（

n

3n

-

1

6

），①（4分）
∵

n+1

3n+1

-

n

3n

=

1-2n

3n+1

＜0，
∴{

n

3n

}是单调递减数列．
当n≥3时，

n

3n

≤

1

9

，①式右边小于0，矛盾，
当n=2时，得k=3^k-2，易知k=3是唯一解，
∴S₁，S₂，S₃成等差数列．
即当n≥3时，{S_n}中不存在S₁，S_n，S_k三项成等差数列．
综上所述，在数列{S_n}中，有且仅有S₁，S₂，S₃成等差数列．

点评：本小题主要考查数列的函数特性、等比数列的通项公式、等差关系的确定等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于难题．