题目内容
如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B=90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1-EF-B，若M为线段A1C中点．求证：（1）直线FM∥平面A1EB；
（2）平面A1FC⊥平面A1BC．
分析：（I）取A1B中点N，连接NE，NM，证四边形MNEF为平行四边形来获取MF∥NE，得到线面平行的条件．
（II）根据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得．
（II）根据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得．
解答：
证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，
则MN
BC，EF
BC，所以MN
FE，
所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）
又因为FM?平面A1EB，EN?平面A1EB，
所以直线FM∥平面A1EB．（7分）
（2）因为E，F分别AB和AC的中点，
所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）
同理，EN⊥A1B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B
又因为A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）
又因为FM?平面A1FC
所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）
证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，则MN
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所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）
又因为FM?平面A1EB，EN?平面A1EB，
所以直线FM∥平面A1EB．（7分）
（2）因为E，F分别AB和AC的中点，
所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）
同理，EN⊥A1B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B
又因为A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）
又因为FM?平面A1FC
所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）
点评：考查线面平行与线面垂直的判定定理，以及空间想象能力．
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