题目内容
设f（x）=ax3+bx2+cx+d，f′（x）为其导数，如图是y=x•f′（x）图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别为（ ）分析：依题意，f′（x）=3ax2+2bx+c，于是y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，由
⇒b=0，c=-12a，从而可求得g（x）=3ax3-12ax，由图知a＞0，继而可求f（x）的极大值与极小值．
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解答：解：∵f′（x）=3ax2+2bx+c，
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，
由图可知，
，即
，
解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax3-12ax，由g′（x）=9ax2-12a＞0，结合图象可知，a＞0．
∴f（x）=ax3-12ax+d，
f′（x）=3ax2-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴当x=-2时，f（x）取到极大值，当x=2时，f（x）取到极小值．
故选D．
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax3+2bx2+cx，
由图可知，
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解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax3-12ax，由g′（x）=9ax2-12a＞0，结合图象可知，a＞0．
∴f（x）=ax3-12ax+d，
f′（x）=3ax2-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴当x=-2时，f（x）取到极大值，当x=2时，f（x）取到极小值．
故选D．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查识图与运算能力，求得f（x）=ax3-12ax+d且a＞0是关键，也是难点，属于中档题．
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